1．动量理论

在本文中，我们将推导出作用在风机叶轮上的功率P和推力T（忽略摩擦阻力）。

由于受到风轮的影响，上游自由风速V₀逐渐减小，在风轮平面内速度减小为U₁。上游大气压力为P₀，随着向叶轮的推进，压力逐渐增加，通过叶轮后，压力降低了ΔP，然后有又逐渐增加到P₀（当速度为U1时）。

根据伯努力方程

H=1/2（ρv²） P…………（1）

ρ—空气密度
H—总压

根据公式（1），

ρV₀²/2 P₀=ρu²/2 p₁
ρu₁²/2 P₀=ρu²/2 p₂
P₁-p₂=ΔP

由上式可得

ΔP=ρ（V₀²-u₁²）/2………（2）

运用动量方程，可得作用在风轮上的推力为：

T=m(V₁-V₂)

式中m=ρSV,是单位时间内的质量流量
所以：T＝ρSu（V₀-u₁）
所以：压力差ΔP＝T/S=ρu（V₀-u₁）
由（2）和（3）式可得：
u＝1/2[（V₀-u₁）]……………………（4）

由（4）式可见叶轮平面内的风速u是上游风速和下游风速的平均值，因此，如果我们用下式来表示u。

u=(1-a)*V₀(5)

a称为轴向诱导因子，则u₁可表示为：

u₁=(1-2a)*V₀(6)

功率P和推力T可分别表示为：

T=ΔP*A(7)
P=ΔP*u*A(8)

根据方程（2），（3）和（6）可得：

P=2ρa(1-a)²*V₀³A(9)
T=2ρa(1-a)V₀²A(10)

通过定义功率和推力系数：

C_P=4a(1-a)²(11)
C_T=4a(1-a)(12)

方程（9）和（10）可写成如下形式：

P=0.5ρV₀³AC_P（13）
T=0.5ρV₀³AC_T（14）

对方程（11）求极值

_{∂Cp/∂a=4(3a}²-4a 1)=0(15)

求得　　　a=(2±1)/3=1或1/3

根据公式（6）a<0.5

所以a=1/3时，Cp有极大值

（Cp）max＝16/27≌0.59　　　(16)

当mso-fareast-font-family:宋体">a=1/3时，Cp值最大。

２.尾涡的旋转

１.中的公式推导是基于以下假设：力矩保持线性，没有旋转个发生。

然而，叶轮是通过作用在其上的扭矩Q来吸收风能的，根据牛顿第二定律，尾涡也在旋转，并且其旋转方向和叶轮相反。

U₁=2ωrab　　　　　　　　　(17)
ω:叶轮角速度
ｂ:切向诱导因子

作用在环素dr上的力矩为：
dQ=mu_tr
=(ρu*2πrdr)u_tr
=2πr²ρu*u_tdr　　　　　　　(18)
m-----　通过环素的质量流

相应的功率为：

dp=*dQ　　　　　　　　　(19)

用a,b和方程（18）可以写出

dp=4πr³Ρv₀ω²(1-a)bdr　　　　(20)

叶轮吸收中的总功率为：

P=4π(V₀/λ²R²)ρ∫₀^R(1-a)btr³dr　　(21)

尖速比=V₀/ωr(22)

如图（２），诱导因子分别给V₀和ωr一个诱导速度，并且产生一个相对速度W，因为假设的是无摩擦流动，诱导速度必定垂直于W，a和b并不是独立的，有以下关系：

〔bωr〕/[aV₀]=[V₀(1-a)]/[ωr(1 b)](23)
λ(r)=V₀/ωr(24)

由以上两式可得：

a(1-a)λ²(r)=b(1 b)(25)

如图（3），对于小的尖速比λ（r）来说，叶片转速相对风速来说较大，这时切向诱导系数b几乎可以忽略，轴向诱导系数几乎达到了0.333，对于大的尖速比λ（r），尾涡的影响较大，最大功率输出时,a减小到0.25。

如图（4），理想的高速风机（无摩擦）其风能利用系数可达到贝兹极限（Cp=0.593），然而低速风力机如多叶片风机由于尾涡的影响其理论Cp值不会超过0.30。(

来源：佳工机电网