行
业
产
品
功
能
北极星电力网技术频道 作者:佚名 2008/1/8 18:35:57
0引言
在微机继电保护中，有两种形式的滤波器可供选择：一种是模拟滤波器,另一种是数字滤波器。同模拟滤波器相比，由于数字滤波器具有“高精确性、高灵活性和高稳定性以及便于时分复用”［1］等优点，因此目前所研制的电力监控产品中，绝大多数都用到数字滤波算法。其中傅里叶算法因能够有效地去除直流分量和谐波干扰，并且可以有选择地单独计算谐波分量，所以被广泛地应用于谐波分析中。
FFT由于具有原位性，计算量较小并且易于流水线操作等特点，所以非常适合用数字信号处理器（DSPs）进行处理。我们可以通过一定的转换和计算，用FFT来实现傅里叶算法，可以大大减小运算量，而且使其更易于通过DSPs实现。
1傅里叶算法的应用
傅里叶算法的基本思想源于傅里叶级数。该算法假设输入信号为一周期性信号，即输入信号中除基频分量外，只包含恒定的直流分量和各种整次谐波分量。此时电压（电流）输入信号可表示为：
式中：T1为周期信号的周期，c0为直流分量，ck为k次谐波的幅值，为k次谐波的有效值。
对于周期连续信号x(t)，式（2）和式（3）的积分可用梯形法则［1］求得：
2基于FFT的傅里叶算法的实现
在傅里叶算法中，每计算1次ak或bk就要计算1次式（6）或（7），很不方便；而且当需要计算的谐波次数很高时，就会造成很大的计算量。为了克服这些缺点，可以利用傅里叶级数和离散傅里叶变换的关系，通过FFT代替梯形法则（式（6）、（7））来计算ak和bk。
离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）实质上是同种变换，FFT只不过是利用DFT系数e-j（2π/N）nk的对称性、周期性和可约性等性质将长序列的DFT分解为若干个短序列的DFT计算，然后再按一定规则将其合并，从而得到整个的DFT。因此对FFT的研究，实际上就是对DFT的研究。
根据离散傅里叶变换有
3采样点数N的选择
在现场测量中，要得到精确的计算结果，采样频率的选择很重要。如果采样频率过高，虽提高了计算精度，但增加了计算量，会影响到实时性；如果采样频率过低，会造成其频域的混叠，而无法如实地反映出原来的信号。
对于一般的连续信号，根据时域抽样定理，应有:
其中：fs为采样频率，fm为奈奎斯特频率,但是对于正弦信号，由于其频谱是谱线（在±f0处的δ函数），既不能简单地视为带限信号，也不能简单地视为窄带信号。当其初相φ不确定时，若选取fs=2fm，有可能导致波形的严重失真。
对于正弦信号
若选择抽样频率fs=2f1则会出现以下三种情况［3］：
①当φ=π/2时，可以由x(n)重建x(t)；
②当φ=0时，无法由x(n)重建x(t)；
③当0<φ<π/2时，由x(n)重建出的不是x(t)，而是幅值为x(t)=Asin(φ)、初相为零的同频余弦信号。若φ确定，可以得到原信号x(t)；若φ不确定，则无法得到原信号x(t)。
④只有当fs≥3fm时，才可以保证任何初相位情况下，由x(n)重建x(t)。
结论②显而易见：若φ=0，则一个周期内抽得的两点全是零，自然无法重建x(t)；结论③可以通过图1说明。
由图1可以看到，由抽样的信号b重建的信号c即x(t)=sinφcos(2πf1)不是原信号a，而是幅值变为sinφ,初相为零的余弦信号。对于结论④的证明，详见参考文献［3］。
对于基2的FFT算法，采样频率（一周期的采样点）可按如下方法确定：
1）首先确定所要分析的谐波次数k（例如13）；
2）每个周波至少采3k（39）点；
3）为了采用基2的FFT，采样点数应扩大到邻近的2l个（39扩大到64点）；
4）然后用上述的算法进行分析计算。
这里需`注意的一点是，若得出的采样点3k与邻近的2l相差很多（如69扩大到128点），此时仍然按方法（3）的话，会造成存储空间的很大浪费。在这种情况下，若能保证实时性的条件下，不使用基2的FFT算法，而将3k扩大到邻近的一个可以分解为几个素数相乘的数（如72=2×2×2×3×3），从而采用另一种FFT算法-混合基算法［4］。此时采用72点混合基FFT算法比128点的基2的FFT算法的计算量要稍高一些（比梯形法则的要低），但是却能大大地节省存储空间，有利于提高产品的性能价格比。
4两种方法的计算量比较
由于计算机处理中，乘法运算所需时间比加法多的多，所以现以乘法为例，进行计算量的比较。
从上面的推导可以看出只要计算出ak和bk，就可以由此推导出其它的结果。而FFT算法和傅里叶算法的不同之处在于推导ak和bk的方法不同：FFT算法利用离散傅里叶变换先求出X(k)，而ak和bk正好对应着（不是等于）X(k)的实部和虚部，其计算量为次复乘［4］，考虑到x(t)为实数序列，故1次复乘需2次实数乘法，这样用FFT算法计算ak和bk需要Nlog2N次实数乘法；而傅里叶算法是利用梯形法则即式（6）和（7）得到的，每计算1次ak或bk，各需要N次实数乘法，k次谐波系数的计算量为2Nk。那么傅里叶算法和FFT算法计算量之比为
若以时域64点采样，取13次谐波为例，其比值大于4，这样，采用FFT后，计算量减少了约75。而且当需要更高次谐波时，这个比值还可以增加（根据3中的选点方法，64点的FFT可以支持21次谐波），同时不必修改程序，在满足3中的采样条件的前提下，直接由相应的X(k)计算即可。
5结论
由于数字信号处理器（DSPs）特殊的硬件结构和编程环境，能高速、实时地实现FFT。因此利用FFT来实现傅里叶算法，既减少了计算量，又使这种算法更加适合于DSPs的处理，从而在保证不降低精度的条件下，提高了处理的准确性和实时性，同时也大大方便了软件编程。
参考文献
［1］杨奇逊(YANGQixun).微机继电保护基础（BasisofMicrocomputerRelayProtection）［J］.华北电力学院(JournalofNorthChinaElectricPowerCollege),1988.
［2］邱关源(QIUGuanyuan).电路（第三版）(Circuit,ThirdEdition)［M］.北京：高等教育出版社(Beijing:HigherEducationPress),1989.
［3］胡广书(HUGuangshu).数字信号处理——理论、算法与实现(DigitalSignalProcessing——Theory,AlgorithmandImplemention)［M］.北京：清华大学出版社(Beijing:TsinghuaUniversityPress),1997.
［4］程佩清(CHENGPeiqing).数字信号处理教程（第二版）(DigitalSignalProcessingTutorial,SecondEdition)［M］.北京：清华大学出版社（Beijing:TsinghuaUniversityPress）,2001.
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