多机电力系统非线性振荡的研究邓集祥,刘洪波（东北电力学院信息化教学中心,吉林132012）摘要:多机电力系统低频振荡中出现的Hopf分歧，或称之为非线性振荡，是以往低频振荡研究领域中所未接触的新问题，分析的主要工作是求解系统出现这种非线性振荡时的曲率系数。该文利用复变量构建的一维中心子空间和数值法求出了曲率系数，解决了以往算法只能用于简单系统而不适于多机电力系统的问题。成功地完成了多机电力系统非线性振荡的分析，获得了一些新见解，新观点。为研究发生在多机电力系统中的这种非线性奇异现象提供了一个有效的工具。
关键词：多机电力系统；数值微分；曲率系数；非线性振荡；分歧1引言
自20世纪60年代美国电力系统发生增幅性低频振荡使系统稳定遭到破坏以来，人们对振荡产生的机理及防范措施等进行了深入的研究。人们发现，由于Hopf分歧的出现，机电振荡模式（频率为0.2~2.5Hz）会出现一些奇异现象。即在临界点左侧附近（特征根全位于S平面左半平面），如果轨道不稳极限环出现，系统将在小扰动下分歧出增幅性非线性振荡^[1,2]；而在临界点右侧附近（有一对特征根位于S平面右半平面），如果轨道稳定极限环出现，系统将在小扰动下分歧出稳定的非线性等幅振荡^[3]，这两种现象在国内外电力系统中都出现过。在国内，20世纪80年代初期，东北松滨线（丰满—哈尔滨）线路上的功率摇摆、20世纪90年代黑龙江北部区域网中的等幅振荡等，就可能是机电模式的非线性振荡。当时虽然也有人认为是非线性振荡，但苦于分析理论与方法的缺欠，而没有深入进行这方面的分析研究。
对多机系统进行非线性振荡的分析计算，其最大的难点就是采用什么方法将多维非线性系统压缩到2维的中心流形上，用什么方法求出相关的中心流形变量的高阶偏导数，解出曲率系数。本文采用复变量的方法对高维非线性空间进行了约化，并用数值方法避开解析求导，在一阶偏导基础上直接计算相关的2阶、3阶偏导数，求得了曲率系数，成功地完成了多机电力系统非线性振荡的分析研究。通过一个算例，得出了由于系统本身非线性奇异特性造成系统在低频（0.2~2.5Hz）范围内出现非线性等幅振荡的新结论。
2复变量的中心子空间
对n机系统，消去非发电机节点后的状态方程为
式中x∈R^N,N≥2,u∈R是系统的参数。
系统雅可比矩阵,X_*为系统平衡点。当u变化至u=u_c时，A的特征根将出现一对纯虚根λ₁(u_c)=a(u_c)±j_wc(u_c)，即a(u_c)=0，而A的其余特征根实部均小于零，且。这时，系统在临界点u_c附近拓扑结构将发生改变，分歧出极限环，出现非线性振荡。分析这种非线性振荡的主要工作就是求曲率系数和横截条件à(u_c)。其求解步骤为：
（1）约化高维非线性空间，分裂式(1)为局部衰减的子空间和中心子空间，中心子空间将由分歧方程的解流形所构成，曲率系数由分歧方程给出^[4]。排列A的N个特征根，Rel₁≥Rel₂≥…≥Rel_N，令u₁和v₁为相应于l₁的右特征向量和左特征向量，u₁=u^r juⁱ，规格化u₁，使之第一个不为零的元素是1，相应于u₁规格化v₁，以使。取线性变换矩阵U=[u^r,-uⁱ,…,]，变换阵中，除向量u^r,-uⁱ外，其余向量也可取A的右特征向量（把实、虚部分开以实向量的形式表示），对状态向量x作线性变换
x=x_* U_y(2)式中y=(y₁,y₂,…,y_n)^T。
则变换后系统平衡点将在坐标原点，而A阵将变为由特征根(实、虚部分开)组成的对角块阵^[1]。新的状态变量中，y₁，y₂为中心流形变量，它将是主导系统动态特性的主要变量；y₃,y₄,…,y_N为非中心流形变量，非中心流形变量将是衰减的。为此，在分析中可取y₃=y₄=…=y_n=0^[4]，这样一来，式(2)将成为
（2）以复变量作为中心流形变量，即令z=j₁ jy₂，两维的中心子空间将变为一维的复空间，使高维非线性空间的约化计算简单化。那么,
式(7)为中心流形按复变量z做泰勒级数展开后的2阶项。因为中心流形是实向量值函数，所
3数值微分求解曲率系数
对低阶且不含中间变量的系统，用解析法求曲率系数b₂是可行的。但系统阶数较高，特别是对多机电力系统，其数学模型是由状态方程、网络方程和机端电压方程共同组成的，中心流形变量又是经x变换后的新变量，要想用解析方法写出f对中心流形变量的2阶以上偏导数，是相当困难且相当繁杂的，甚至是根本办不到的。为此，本文避开解析求导，在一阶偏导数的基础上利用数值微分直接求取f对y₁，y₂的2阶和3阶偏导数，进而求得f[1][2][3]下一页