电力系统微分代数模型奇异诱导分岔点的
搜索及其理论分析王庆红¹，周双喜¹，胡国根²（1．清华大学电机系，北京100084；
2．贵州工业大学电力系，贵州省贵阳市550003）摘要：拓展了已有的奇异诱导分岔定理的结论，提出了当参数变化时如何追踪奇异诱导分岔点的方法。该方法表明，如果搜索到某一参数下的奇异点而且知道对应的修正项，那么就可以简单地通过只改变发电机节点的注入功率而保持负荷节点的功率注入不变的方法准确地追踪到另外一个参数值下的奇异诱导分岔点。最后用简单示例系统和IEEE118系统对前面的方法进行了验证，仿真结果表明该方法的有效性和合理性。
关键词：电力系统稳定；奇异点；奇异诱导分岔
1引言
电力系统是一个高度非线性非自治的复杂大系统，可由含参数的高维非线性微分代数方程（DAE）组或奇异摄动常微分方程（ODE）组描述，甚至可能是包含差分方程、条件语句等在内的混合方程组。随着对非线性动力学的深入研究，对电力系统稳定性的研究也从静态到稳态，由简单模型到复杂模型，由规则运动到混沌运动不断地深入，但是目前的研究还处于初级阶段，特别是对奇异诱导分岔的研究甚少。深入研究电力系统分岔问题不仅对揭示电压失稳机理具有重要的意义，同时对整个电力系统分析也具有重要的理论价值和实际意义^[1,2]。
本文在改进的奇异诱导分岔（SIB）定理的基础上讨论SIB点的搜索问题。奇异诱导分岔点的搜索和奇异点（也称僵死点）的搜索一样与所采用的方法和工具密切相关。控制步长大小是追踪奇异诱导分岔点的关键，为了搜索到奇异诱导分岔点，应将步长设置得尽可能小。在某一给定参数下，如果已知奇异点，那么如何选择步长以保证刚好搜索到SIB点？本文将对此展开讨论。
2电力系统DAE模型及其改进SIB定理
2.1电力系统微分代数方程
由n台发电机和n m l条母线组成的电力系统可用如下参数化的微分代数方程组表示^[3]：

本文称E为平衡解流形，S为奇异点集，S_I为奇异诱导分岔点集。式中m为PV节点个数，l为PQ节点个数，p为控制变量个数，D_x和D_y分别为对x和y的偏导数符号。同时定义矩阵为系统雅可比矩阵，其特征值的实部决定系统是否稳定。
2.2改进奇异诱导分岔（SIB）定理
奇异诱导分岔定理（SIB）首先是在文[4]和[5]中由Venkatasubramanian提出并证明的。文中作者把中心流形理论应用到DAE对应的ODE上完成了证明，但是证明过程极其复杂。后来Beardmore在他的博士论文中也进行了很长的证明^[6]。本文不加证明地对这个定理的条件进行改进使其变弱，同时扩展结论提供的信息，具体的证明过程参阅文[7]。
定理1（改进的SIB定理）假设(x₀,y₀,λ₀)是DAE(1)的平衡点，而且函数f,g光滑，λ∈R，并且满足如下横截条件：

那么系统矩阵A_sys在_λ满足0<|λ-λ₀|<δ时，存在一个特征值μ(λ)=τ(λ)/d(λ)，并且τ(λ)在满足|λ-λ₀|<δ时是光滑的，λ(0)=-b≠0，而另外n-1个特征值在|λ-λ₀|<δ时是连续的，并且在λ=λ₀处和如下关于μ的、最高次数为n-1的多项式的n-1个非零根重合。

式中：ker表示核空间（零空间），dim表示求维数，adj为伴随矩阵运算符，tr为矩阵求迹运算符，I_nn阶单位阵。
这个定理的重要性是非常明显的，当平衡解流形碰到奇异点时，系统矩阵A_sys不再有定义，其谱会发生剧烈振荡。但是该定理在某种程度上仍然可以确定奇异点的某个邻域内系统矩阵A_sys的n个特征值沿着平衡解流形的运动情况。定理1说明，当λ→λ₀时，系统矩阵A_sys只有一个特征值是无界的变为无穷大，而其余n-1个特征值不仅是有界的，而且是连续的。如果这n-1个特征值还具有负实部（也就是多项式(2)的n-1个特征值具有负实部），并且当λ穿越λ₀使行列式d(λ)变号时，那么DAE(1)在平衡点附近的稳定性就会改变。
这个改进的SIB定理和文[4]中的SIB定理相比有3个改进。
（1）本文的第4个假设和原来SIB定理的类似假设

相比变得更宽松。比如说根据本文的改进SIB定理，当d(λ)=(λ-λ₀)³ h.o.t时，在λ₀处就会发生奇异诱导分岔（SIB），其中h.o.t表示高阶无穷小。
（2）对于剩下的n-1个特征值，文[4]的SIB定理只断言这n-1个特征值是有界的而且远离原点。而本文的断言则是这n-1个特征值不但不为零而且还是连续的，同时还得出它和多项式(2)的n-1个非零根在λ₀处相同的结论。值得注意的是：断言这n-1个特征根连续，也就意味着当λ在λ₀附近变化时，它们不会从复平面的一边跳到另一边。即在平衡解流形上，它们的运动不会影响系统的稳定性，除非有些特征根在λ₀处位于虚轴上。


3电力系统DAE模型奇异诱导分岔点的搜索
如前面定义的集合所述，奇异诱导分岔点是平衡解流形和奇异面的交集上的点。如果认为线路的参数是固定不变的，而以发电机的机械输入功率、负荷的有功和无功作为参数λ（这也是实践中碰到的比较多的一种情况），那么λ=(λ_G,λ_L)^T都是显含而且解耦的。下面就这种情形进行分析，笔者提出如下SIB搜索定理。
定理2（SIB搜索定理）给定参数λ_S，DAE（1）的奇异点(x_s,y_x)∈S(λ_s)一定是另一参数λ^new下的平衡点，因此也就是该参数下的奇异诱导分岔点。

不难发现：(x_s,y_x)∈S(λ_s)不是（一般情况）平衡点，那么在各个发电机节点处必然存在非零修正项。记这个修正项为

使其满足
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