一种高精度的电力系统谐波分析算法柴旭峥，文习山，关根志，彭宁云（武汉大学电气工程学院，湖北武汉430072）
摘要：首先给出了现有电力系统谐波分析算法中存在的一些问题,然后详细分析了用加海宁窗的FFT算法精确求得电力系统频率的方法和基于Adaline神经元结构的谐波分析原理,在此基础上结合加海宁窗的FFT算法和AdalineANN算法的优点,提出了一种用于电力系统谐波分析的FFT-Adaline算法。该算法消除了加海宁窗的FFT算法和AdalineANN算法产生误差的主要因素，从而显著地提高了谐波分析的计算精度。文中给出了该算法用于谐波分析模拟计算的算例，计算结果表明：新算法在波形信号中存在系统频率波动和白噪声干扰的情况下依然具有非常高的精度，结合高速数字信号处理器(DSP)或高性能CPU使用，将有较大的实际意义。
关键词：电力系统；谐波分析；傅立叶变换；人工神经网络；加海宁窗；FFT插值算法
1引言
随着现代工业的高速发展，电力系统中的非线性负荷日益增多，电力系统谐波污染问题受到了广泛的重视。及时、准确地掌握电网中谐波的实际状况对于电力系统的安全、经济运行具有重要的意义。
电力系统的谐波分析常采用快速傅立叶变换(FFT)实现。然而，电力系统的频率并不是时刻都为额定工频这一恒定值，它会在额定工频左右的一个范围内发生变化。这样就无法保证这个实时的频率是采样频率分辨率的整数倍，也就无法达到同步采样，这是产生栅栏效应和频谱泄漏现象的主要原因之一。文[1]~[3]给出了栅栏效应和频谱泄漏现象的产生原理，并指出：插值算法可以消除栅栏效应引起的误差,频谱泄漏引起的误差则需要用加窗函数的方法来消除。近年来，有关文献在加海宁(Hanning)窗插值算法的基础上提出了加布莱克曼-哈利斯(Blackman-Harris)窗的插值算法^[2,3]。算法具有较高的精度，但布莱克曼-哈利斯窗有3项系数和4项系数2种形式，在求解每一次谐波的幅值、相角参数时都要解一个一元五次方程（对应3项系数）或一元七次方程（对应4项系数），在运用高级语言采用迭代算法编程实现时，计算量较大。同时，在不同步采样较严重时，加布莱克曼-哈利斯窗的插值算法对偶次谐波相位的计算依然会存在较大的误差^[3]。
近年来，随着人工智能技术的发展，人工神经网络已经被应用于电力系统谐波分析。应用于电力系统谐波分析的人工神经网络模型有自适应线性人工神经网络^[4,5](AdalineANN)和多层前馈自适应人工神经网络^[6](MLFNN)，运用人工神经网络进行谐波分析具有较高的精度，然而这2种方法均不完美：AdalineANN模型必须在知道系统精确的基波频率的前提下才能进行精确的谐波分析。如果不知道系统的精确频率而以50Hz来进行神经网络的训练，误差则较大。MLFNN网络由于其训练过程的不确定性，一般在应用之前需要大量的训练甚至可能出现完全不能训练和局部极小值的情况，因而无法很好地满足实际应用的要求。此外,MLFNN网络由于神经元数量多，致使计算量较大。
本文将加海宁窗的FFT插值算法和Adaline神经元模型相结合，提出了一种新的电力系统谐波分析方法。
2用加海宁窗的FFT插值算法求电力系统基波频率
一个具有各次谐波的周期信号可表示为

式中f_i为第i次谐波频率；A_i、j_i分别为第i次谐波幅值及相角；m为最高谐波次数。
信号在满足香农(Shannon)采样定理的条件下以采样频率f_s对其进行采样。当对信号的采样频率f_s不是基频f₀的整数倍时，基频信号的频率可表示为

式中N为采样点数；f_s/N称为频率分辨率；k₀为整数；d₀为小数。
d₀的物理意义见图1，信号的采样值为

海宁窗是余弦窗的一种，通常信号加窗都是在时域进行的，而对于余弦窗，可以先对信号进行傅立叶变换，然后在频域进行处理。海宁窗的N点(N为偶数)对称表达式为

由于在离散傅立叶变换中使用海宁窗的加窗序列是单边的，因此用于FFT加窗的海宁窗函数应为^[1]

加海宁窗的离散傅立叶变换为

根据FFT和余弦窗函数的相关公式，可严格地推导出加海宁窗的插值公式来分别对频率、幅值和相位进行校正^[7]。其基频的校正公式为

将式(8)代入式(2)，即可得到准确的电力系统基波频率。3基于自适应线性神经元结构的谐波分析原理
自适应线性(Adaline)神经元是由Widrow和Hoff最早提出的一种神经元模型，并被广泛应用于自适应信号的处理领域^[8]，其结构原理如图2所示。