发电经济调度可行解判据及其求解方法吴磊，翟桥柱，管晓宏（西安交通大学系统工程研究所，陕西省西安市710049）摘要：发电经济调度问题是一个经典混合整数规划问题，然而用拉格朗日松弛法得到的对偶解对原问题通常是不可行的，要获得可行解必须先得到一种可行的机组组合。本文分析了现有可行化条件中存在的问题，提出了一个易于检验的可行化条件，并证明它是充分必要的。随后，介绍了获得可行解的方法。
关键词：机组约束；发电经济调度；可行化条件
1引言
发电经济调度的目的是在满足系统约束的前提下合理安排各机组出力，使总发电成本最低。长期研究表明，经济调度的潜在效益非常巨大^[1]。目前求解经济调度问题的算法很多，其中Lagrangian松弛法是公认的最有效方法之一^[2]。该方法把原问题转化为一种两层结构，在高层修正乘子，低层求解各机组子问题，先经若干次迭代求得对偶解（对偶解对原问题通常不可行），再用启发式方法从对偶解中构造出可行解。由于原问题中既有离散变量（决定开关机状态），又有连续变量（决定发电功率），连续变量相对易于调整，因此求可行解的关键在于获得可行的开关机状态组合，再调整各个处于开机状态的机组的输出功率（即进行经济分配）便可满足系统约束。因此，判定一个给定的状态组合是否可行是发电经济调度首先要解决的问题。
最理想的结果是得到判定一个给定的状态组合是否可行的充分必要条件，做到这一点不容易，文[3]给出了一个由两个不等式组成的判定条件，该条件在大多数情况下是充分的，但当系统负载需求较小时不再充分，导致求可行解时需要多次调整组合状态；当负载需求较大时条件又过于苛刻，导致选择空间缩小，发电成本加大。文[4]结合文[5]中机会价值的思想，提出了一种系统化寻找可行解的方法，并削弱了文[2]中的判定条件，但该条件不是在任何情况下都充分。文[6]是一篇较早的文献，其中有关结论也存在类似文[2]的问题。
本文在文[2]、[4]的基础上，提出一个易于检验的判定条件，并证明该条件是充分必要的。进而提出在解可行的前提下，通过缩短开机区间，可减小发电成本，得到更加经济的调度方案。
2可行化条件中存在的问题
考虑一个有N个火电机组的电力系统，以小时为调度单位，调度周期为T小时。系统约束为



在由对偶解寻找可行解的过程中，通用的方法是按时间顺序逐小时可行化^[2,4,5]。因此，状态组合是否可行完全可以针对各小时而言，实际上也是这样做的。只有每一小时都可行化以后，才能得到原问题的可行解。由于存在最小开关机时间、检修计划等约束，且它们与各小时的开关机状态变量相耦合，各小时的开机状态将相互影响，所以问题比较复杂，但目前的技术足以解决此困难^[2,4,5]。剩余的难点在于如何判定某小时的状态组合是否可行。
为了叙述方便，引入如下几个集合记号：E_3t：有爬升约束机组编号集合；E_2t：无爬升约束、有首末开机约束（这种约束要求机组在开机第一小时和关机前最后一小时输出功率最小且不提供备用），且在第t小时处于首末开机状态的机组编号集合；E_1t：其他在第t小时处于开机状态的机组编号集合。以上三个集合显然互不相交。
文[2]给出的条件为，在第t小时，若

两个不等式成立，则由E_1t、E_2t、E_3t确定的状态组合在第t小时可行。需要说明，由于有爬升约束的机组其各小时输出功率互相制约，所以不能轻易调整，E_2t中各机组由于存在首末开机约束因而也不能调整。因此这里的可行实际指的是只调整E_1t中各机组的输出功率使式(1)、(2)满足。
式(6)的含义是E_1t中所有机组的发电能力能满足负载和备用需求，其中扣除E_2t、E_3t中各机组出力；式(7)的含义是E_3t中所有机组能提供足够的备用，其中扣除E_3t中各机组提供的备用。仔细分析式(6)、(7)可以发现，如果扩大集合E_1t，则此两不等式越趋于成立，但如果E_1t中机组过多以致E_1t中机组的最小发电功率之和大于系统负载需求，即

则只调整E_1t中各机组的输出功率不能使式(1)满足，而系统负载需求较小时式(8)极有可能成立，以下的例子可说明上述判定条件存在不充分的问题。
例1：

由于式(8)仍未被考虑，总体最小发电功率超过需求的问题仍然存在。式(9)右端虽扣除了E_3t中各机组提供的备用，但未考虑E_3t中各机组提供的备用可能已经足够这种情况，因此引入了新的问题。


3修正的可行组合条件及其充分必要性
本文基于文[2]、[4]提出修正判定条件如下。
定理：若下述三个不等式


状态组合在第t小时可行，则可找到合适的p_i(t)使式(1)、(2)成立，利用式(3)、(4)，对式(1)变形得：

类似，由式(2)、(3)、(5)得（有首末开机约束的机组不提供备用）：

式(15)和式(17)就是式(12)和式(11)，下面只需证明式(10)成立。若式(11)右端为负，由式(14)得式(10)成立；否则，把式(13)代入式(18)即得式(10)成立。
下面证明充分性，假设式(10)~(12)成立，要证明适当调整E_1t中各机组的输出功率即可使式(1)、(2)满足，按式(11)右端大小分三种情况讨论：
第一种情况

由式(10)、(19)、(12)可知0≤a≤1，式(21)的物理意义是E_1t中各机组按同一比例在最小输出功率与最大输出功率之间选取发电功率。可以验证这样选取的p_i(t)可使式(1)、(2)得到满足。
第二种情况
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