区间三角样条小波（ITSW）及其在电机
故障信号边界问题处理中应用
胡国胜^1，2，任震¹，黄雯莹¹，朱锋峰¹
2．广东省科技干部学院，广州510640）

1　引言　　
　　小波变换时频域具有良好的局部化性能，因而较Fourier变换能更好地刻画电力系统突变信号瞬态特征。小波变换在电力系统中的应用集中于对故障信号分析与处理上，包括突变信号的检测、突变点的定位和故障诊断。实际分析是对电力系统故障信号进行采样，得到有限待分析的采样数据，采样后的有限区间上的信号在端点处的值明显发生突变。但现有的小波函数，如Symmlet小波、Daubechies小波、Coiflets小波、Meyer小波等，在实际应用时，当分析信号的边界点无奇异时，其小波变换也存在模极大值，即存在边界效应，而且小波系数存在振荡。这样，当故障点恰好落在采样信号边界点旁边时，就很难判断边界点旁边的模极大值是否是由信号本身的奇异性所引起的。为了消除这种现象，解决问题的方法之一是增加数据采集窗的宽度，但却极大地增加了计算量，不利于实时分析。如文献［1］中为了分析3ms的数据量，采用了9ms宽度的数据采集窗。另一种方法是采用延拓方法。如文献［2～5］大多采用区间外数据补零、对称延拓、平滑等延拓方法；构造特定的小波变换如Matlab软件包中周期小波变换（dwtper（））或文献［6］中提及的平均插值小波变换，把边界附近的多项式进行适当外延，来求解边界处的小波变换系数，从而具有边界自动校正特点等。以上这些方法没有真正很好地利用区间给定的数据来解决边界问题而且重构后的信号的误差较大。寻找一种有别于已有的小波并能真正解决边界问题的
区间小波变换是完全必要的。
　　过去人们构造区间小波的方法主要是折叠方法，如Meyer曾利用Daubechies小波构造正交区间小波、梁学章先生在文献［7］中提出由B样条小波构造成的区间双正交小波以及徐淑珍构造的平均插值小波^［8］等。它们的主要思想是将区间小波函数折叠到区间内。本文构造区间小波的思想与它们截然不同，它是通过在端点处设置重叠节点，巧妙地构造区间上的三角样条小波。利用其边界校正的优点，对信号进行分析，可彻底消除这种现象，减少了计算量，提高了电力系统故障检测的准确性。
2　区间三角样条小波
与基数B样条一样，一阶三角样条TS1（n＝1）是定义在［0，1）区间的特征函数χ_［0，1）（x）：


　　这样式（3）求得的T_n（x）为n阶三角样条函数TSn。以n阶基数三角样条函数作为尺度函数构造别为TS1～TS4的图像：
　　由文［10］知，基数三角样条函数和基数B样条函数的图像完全相同，都为对称“钟形”函数。令t_i＝i／2，τ_i＝i，i＝0，1，2，…，t＝｛t_i＝i／2，i＝1，2，...},τ={τ_i=i,i=1,2,...}而且s=t-τ或t=τ∪s。记S_t为以节点t＝｛t_i＝i／2，i＝1，2，…｝构成的样条空间，S_τ为以节点τ＝｛τ_i＝i，i＝1，2，…｝构成的样条空间。显然有S_τ⊂S_t。空间S_τ在空间S_t中的正交补为W_τ，S_t＝S_τ⊕W_τ。子空间S_τ中的三角样条是

　　其中T_n（x）是节点为｛0，1，2，…，n｝的三角样条，T_（n）／2（x）是节点为｛0，1／2，1，…，n／2｝的三角样条。定义



　　上式表明，一阶（零次）三角样条小波TSW1恰好就是Harr小波，这与B样条小波推导结果是完全一致的_［9］。当n＝2时，w₁～w₅的值分别为：

定理1对任意n∈Z ,(6)、(7)定义的φ_n(x)是小波函数，并称之为n阶三角样条小波TSWn。图2列出了1～4阶三角样条小波时域波形。
　　从图2可看出，三角样条小波函数ψ_n（x）对n＝1，3奇数时，呈反对称性；对n＝2，4偶数时呈对称性。事实上，由T_n（x）的对称性和系数公式（7）的对称性知，对所有的n，小波函数ψ_n（x）具有对称性或反对称性。因而ψ_n（x）具有线性相位或广义线性相位^［9］。
定理2　对所有的正整数n，三角样条小波函数ψ_n（x）对于偶数n是对称的，ψ_n（x）＝ψ_n（2n－x）；而对于奇数n是反对称的，ψ_n（x）＝－ψ_n（2n－1－x）。因此，它们具有线性相位（对于偶数n）和广义线性相位（对于奇数n）。
　　上述构造的三角样条小波不仅能在2^jZ节点上，而且在任意节点构造三角样条小波，如式（2）和（3）。这给我们构造区间上三角样条小波带来很大方便。比如，我们要构造L²［0，1］上的三角样条小波，可以在端点处设置多重节点，这也是样条构造的常用处理方法。
定义3^［10］　对固定的j∈Z^＋，令区间［0，1］上的节点


其中，ψ_n（t）是n阶三角样条小波。
　　对于端点0有下面引理5得到。
引理5　对所有满足条件2^j≥2n－1的j∈Z，存在n－1个端点0的边界小波，它们的表达式为

　　根据三角样条构造内在对称性，通过代换ψ_{j，2j－2n＋1－k}（t）：＝ψ_j，k（1－t）后，就能得到端点1处的边界小波函数。归纳起来，得到下面定理6。
定理6　如果2^j≥2n－1，则维数为2^j的区间小波空间是由下列函数张成：（1）引理4中的内部小波ψ_j，k，k＝0，…，2^j－2n＋1；（2）引理5中端点0边界小波ψ_j，k，k＝－n＋1，…，－1以及经变换后的端点1处边界小波ψ_{j[1][2]下一页}