统一广义双侧消去法与架空线路-
地下电缆混合输电系统故障电流分布的计算邹军，袁建生，周宇坤，马信山（清华大学电机系电工新技术研究所，北京100084）摘要：为了计算架空线路-地下电缆混合输电系统故障电流的分布，提出了基于线路边界的统一广义双侧消去法。根据线路边界的特点，将混合输电系统划分成若干区间，每个区间内电力线路具有相同的电气结构；在每个区间内应用广义双侧消去法得到线路电流和边界电流之间的关系；在线路边界处根据电流连续条件列写网络方程，解得整个输电系统电流分布。与常规的广义双侧消去法相比，该文的进展在于：①借助线路边界概念，可分析具有不同电气结构互联的线路系统，同时，故障点的数目和故障形式可以任意；②阐明了统一广义双侧消去法的数学本质是块三对角阵的“追赶法”，给出了广义双侧消去法递推过程的数学解释。数值计算结果证明了该文方法的正确性，该文方法为电力线路电磁环境的分析奠定了基础。
关键词：统一广义双侧消去法；混合线路；故障电流分布1引言
近年来，高压电力线路进入城市中心区，由架空线路-地下电力电缆所组成的混合输电系统已经十分常见，计算这类系统中短路电流的分布是城市电磁环境评估的基础。计算故障电流在整个输电系统中的分布需求解由线路各档构成的大规模电网络。考虑线路换位、架空地线和电缆护套接地等实际情况，故障条件下各相电量之间的关系是不对称的，因此，无法应用传统的序分量法进行求解，而基于相参数模型的广义双侧消去法(GeneralizedDouble-SidedEliminationMethod,GD-SEM)则是这类问题的一个很好的解决方案^[1,2]。基于该算法，加拿大SES公司推出了商业软件CDEGS，并已有成功的工程应用实例报道^[3]。但是，GDSEM尚存在需改进之处。例如，对于导体数目不同的线路互联结构，在GDSEM中需增设虚拟线路，这无疑增加了不必要的计算量。另外，GDSEM只允许存在一个故障点，不能模拟多点同时故障的线路工况。从软件开放性的角度来讲，CDEGS不提供与其它软件系统（如EMTP）的接口，功能扩充困难。针对上述问题，本文引入了线路边界概念，提出了统一广义双侧消去法。与GDSEM相比，本文的进展在于：①建立了统一广义双侧消去的计算模型，借助线路边界概念，可分析具有不同电气结构互联的线路系统，同时，故障点的数目和故障形式可以任意，进一步拓展了GDSEM的使用范围；②阐明了统一广义双侧消去法的数学本质是块三对角阵的“追赶法”,给出了其递推过程的数学解释。
2计算方法
2.1线路边界
图1是架空线路和地下电缆混合输电系统示意图。变压器两侧线路的导体数目不一定相同，因此不能在整个线路系统中使用广义双侧消去法。为了克服这一困难，可引入线路边界的概念。所谓线路边界是指线路起始点、终止点、线路结构发生变化（如线路的分岔或合并、单/双回线路转换等）的地方和短路故障点。根据上述定义，将混合输电系统划分成若干区间，每个区间内线路的电气结构相同，同时，在每个线路边界点B_i处设置线路边界电压源V_Bi，如图2所示。由于区间两端边界电压源V_Bi的隔离，因此可每个线路区间B_iB_{i 1}中进行双侧消去过程。2.2统一广义双侧消去法的数学描述
一个线路区间内，统一广义双侧消去法的计算模型如图3所示。图中，阻抗网络k由线路间电容、线路间的联结阻抗和互阻抗组成。这种计算模型将线路横向支路封闭在一个“黑箱”网络（阻抗网络k）中，因此，无论是架空线路还是地下电缆线路都将具有统一的电气结构。此外，只要设置阻抗网络中阻抗参数就可以模拟各种不同的短路工况，计算十分灵活方便。根据多端口网络的戴维南定理，可得到线路第k档线路电压U_k和线路横向电流I_dk的关系^[4]：
一个区间内线路共分为n档，每档线路的导体数目为m，且设每档导体上有外施纵向电压源E_k，则对区间内各档列写回路方程：
第1档：
式(2)～(4)中，I_k为线路纵向电流列向量，Z_k为第k档线路的自阻抗和互阻抗矩阵，I_dl和I_{dn 1}为区间两端的横向电流列向量。将上述n个方程写成块矩阵形式，如式(5)所示。由于考虑边界处横向电流I_dl和I_{dn 1}的作用，式(5)左端系数阵为n×(n 2)阶的增广块矩阵，同时，其每个元素均为m×m阶的方阵。将式(5)系数阵的对角元进行归一化，并且从第2行开始，将下三角阵的次对角元消成零元素，则式(5)转化成式(6)的形式。式(6)建立了回路电流I_k与边界电流I_dl之间的关系。然后，从第1行至第n-1行将上三角阵的非对角元消成零元素，式(6)转化成式(7)的形式。此时，任何一档回路电流I_k均可用区间端点处的边界电流I_dl和I_{dn 1}表示。块三对角阵的消元过程与广义双侧消去法中前后递推过程相对应，而且已经包含了根据两个方法的递推系数获得响应系数这一步骤。因此，统一广义双侧消去法的数学本质是块三对角阵的消去法。对于矩阵形式的三对角阵，数学上已有成熟的“追赶法”可供选用^[5]。由于块矩阵的“追赶法”本身是一种节省内存的快速算法，所以统一广义双侧消去法的计算效率很高而计算存储量的需求很小。应当强调指出，双侧消去的矩阵形式是与计算模型相联系的。本文统一计算模型的阻抗网络包含了线路横向支路的所有信息，这一精巧构造给计算带来了极大的便利性。
2.3混合输电系统电流分布的计算
根据2.1节和2.2节的论述的概念和方法可以很方便地计算多分支结构的混合输电系统。图4是一个多分支结构混合输电系统的示意图，其中不同电气结构和走向的线路共4条（线路L₁~L₄），线路边界节点分别为N₁～N₅，边界电流列向量分别为I_d1～I_d5。以边界节点N₂为例说明计算方法。依次在每个线路区间中使用统一广义双侧消去法得到线路两端处电流与线路边界电流之间的线性关系，
式中，上标1和r分别表示线路的左端和右端；分别是与边界节点N₂相连线路档的线路纵向电流列向量；为线性算子，即线路端点处电流可由线路左右两端的横向电流线性表出。在边界节点N₂处应用电流连续性条件。
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