摘要：简述了发电机功角的重要性，介绍了确定发电机功角的测量法和计算法，提出一种基于同步相量测量的发电机功角计算模型，该方法利用机端电压、电流采样数据，简单、易于实现，有良好的模型适应性，可用于实时功角计算。通过仿真计算结果表明，该方法具有较好的精度，可满足工程要求。用于全网相量测量系统中，可准确监测功角动态变化，为系统的安全稳定监测提供一定的基础。

关键词：发电机；功角；算法；实时

Real-time Calculation Method of Generator Power Angle

Liang Zhenguang 

(Shandong University, Jinan 250061, China)

Abstract: The importance of generator power angle is described in general. Measurement method and calculation method to determine generator power angle are introduced. A generator power angle calculation model based on synchronous phasor measurement is presented. It makes use of generator's sample data of voltages and currents. The method is simple, easy to realize and has good model adaptability. It can be used in real-time power angle calculation. Simulation results reveal that the method has good accuracy and can meet engineering needs. When the method is used in whole net phasor measurement systems, dynamic variations of power angle can be monitored accurately. This provides a foundation for system safety and stability monitoring.
    Key words: generator; power angle; algorithm; real-time


0  引言
    随着电力工业的迅猛发展，系统的容量不断增加，其安全稳定运行越来越重要。经验表明，系统运行的安全与否与其运行状态密切相关，因此，实时、全面地掌握电力系统各部分的运行状态对保证系统的安全、稳定、紧急运行具有重要的意义。发电机作为电力系统中的重要设备，其稳定运行则成为重中之重。发电机的功角不仅是反映发电机内部能量转换的一个重要参数，也是发电机稳定的一个重要标志量。功角的改变与有功功率、无功功率的变化相关联，通过监视功角的变化，为发电机在异常、故障及其失稳情况下的分析，提供了非常重要的参考依据。因此，发电机的功角是电力系统中的一个十分重要的监测量。目前，电力系统中基于GPS的电网运行实时监测系统的研究已十分活跃，本文对其中发电机功角的测量、计算^[1-9]进行了研究，并提出了一种基于同步相量测量的发电机功角实时计算方法。

1  发电机的功角
    根据电机学原理，在忽略电机电枢绕组电阻情况下，隐极发电机的有功功率和无功功率可分别表示为
                            

其中，U为发电机的端电压，E_q为发电机的感应电势，x_d为发电机的同步电抗，δ为感应电势与端电压间的相位夹角(称为发电机的功率角或功角)，P为有功功率，Q为无功功率。当感应电势和电压恒定时，传输的有功功率是功角δ的正弦函数。
    功角δ在电力系统稳定中占据十分重要的地位，为保证发电机的静态稳定性，应使功率增量ΔP和角度增量Δδ的比值为正，即静态稳定性的判据为ΔP/Δδ>0。当电力系统受扰动，发电机定子磁场与转子发生相对运动，发电机的功角δ发生变化，若功角经过振荡后能稳定在某一个数值，则表明发电机重新恢复了同步运行，系统具有瞬时稳定性；若电力系统受大扰动，发电机功角不断增大，发电机不再保持同步，则系统失去瞬时稳定。因此，可用电力系统受大扰动后功角随时间变化的特性δ=f(t)作为瞬时稳定的判据，记录实时功角信息，显示功角的变化，对功角摆动超过设定界限进行报警，以便于及时处理可能发生的不稳定情况。
    发电机的功角δ反映发电机转子的相对运动，是判断发电机是否同步运行的依据。要确定发电机功角δ，有两种方法：①直接测量法^[1-5]；②计算法^[6-9]。
1.1  直接测量法
    直接测量法是指根据功角δ所表征的物理意义，直接测量发电机转子的位置信号，进而得到功角δ值。
    如图1所示，功角δ具有双重物理意义：发电机的感应电势E₀和端电压U之间的时间相角；主极磁场F_f和气隙合成磁场F_δ之间的空间夹角。在转子轴上确定一个固定的机械位置，如d^′(与d轴的相角为β)，则d^′可间接代表了E₀的方向，E₀与d^′间相角差为δ₀=90°+β(δ₀为定位相角差)。将转子上的固定位置d^′转化为电信号，测得d^′轴位置与发电机端电压U的相角差δ_∑=δ₀+δ，根据已经确定的δ₀，就可求出发电机的功角δ。

    转子位置信号的获得，可采取：①设置转子位置传感装置^[1-4]，利用光电转换或磁电变换方法，得到转子位置信号；②借助于汽轮机的转速信号^[5]，将其脉冲信号整形，进行60分频(转子每转一周，测速信号产生60个脉冲)，输出转子位置信号。
    定位相角差δ₀的确定，可采取：①以发电机电流I=0时(此时功角δ=0)，测量的d^′轴与端电压U的相角差δ_∑=δ₀确定^[1-4]；②在稳态情况下，由功角的计算值确定其定位角^[5]。
    直接测量法可以测量得到功角δ，但需要装设转子位置传感装置，并在机组投运时校正功角的初相角，实现起来比较复杂。且传感器存在机械加工偏差、安装偏差，电磁干扰、机械振动等也会引起误差。
1.2 计算法
    发电机稳态运行时，其电压方程为

    其中，E_q为发电机的q轴感应电势，U为发电机的端电压，I_d、I_q为发电机定子电流的d、q轴分量，x_d、x_q为发电机d、q轴同步电抗。
    忽略定子电阻的影响，由发电机的相量关系，可得功角δ的计算公式为

    对于确定的系统，x_q为常数，因此，根据实时测量得到的发电机的端电压U、电枢电流I及其夹角φ，便可由式(4)计算出其功角δ。
    计算法是指根据发电机的数学模型和内部参数，并利用测量得到的发电机的电压相量和电流相量，计算发电机的感应电势E和功角δ。
    计算法确定功角δ，不需要装设位置传感装置，以及初始功角校正，具有简单、易于实现、经济实用的优点。但目前的功角计算方法^[6-9]都是基于发电机的稳态模型，在稳态时具有良好的测量精度，而在暂态过程中，误差则难以控制。为保证暂态过程的计算精度，需要建立发电机的暂态模型，计算其功角。
2  基于同步相量测量的功角实时计算方法
    为计算发电机在暂态过程中的功角，本文建立了发电机功角的暂态模型，并根据同步相量测量结果，进行计算。
    设同步发电机有三个定子绕组(a，b，c)、一个励磁绕组(f)和两个阻尼绕组(D，Q)，根据同步电机理论，列出描述电磁瞬态过程的派克(Park)方程。假设定子三相绕组对称，气隙中磁通按正弦规律分布，忽略饱和的影响，将三相绕组的同步电机转化为d、q两轴绕组的等值电机，如图2所示。其中q轴方向有定子绕组(q绕组)和阻尼绕组(Q绕组)，d轴方向有定子绕组(d绕组)，励磁绕组(f绕组)和阻尼绕组(D绕组)。

    按照图2中规定的坐标系统和各物理量正方向，可写出标么值系统下的派克方程为
                        
    其中，Ψ_d,Ψ_q,Ψ_D,Ψ_Q,Ψ_f分别为定子d、q轴绕组、转子D、Q阻尼绕组和励磁绕组磁链，x_d,x_q,x_D,x_Q,x_f分别为定子d、q轴绕组，转子D、Q阻尼绕组和励磁绕组自感抗(x_d,x_q也称d、q轴同步电抗)，x_ad为d轴上三个绕组(d，f，D)之间的互感抗，又称d轴电枢反应同步电抗，x_aq为q轴上两个绕组(q，D)之间的互感抗，又称q轴电枢反应同步电抗，r,r_f ,r_D ,r_Q 分别为定子绕组、励磁绕组、D轴阻尼绕组和Q轴阻尼绕组的电阻。p—d/dt为微分操作符，t为标么时间。
    在系统受到扰动，研究其暂态稳定时，做如下假定：
    (1) 忽略突然发生故障后网络中的非周期分量电流。
    因为一方面非周期分量衰减很快；另一方面，此非周期分量电流产生的磁场在空间不动，它和转子绕组电流产生的磁场相互作用将产生以同步频率交变、平均值接近于零的制动转矩，对发电机的机电暂态过程影响不大。
    (2) 只计及正序分量，忽略负序、零序分量的影响
    当故障为不对称故障时，发电机定子回路中将流过负序电流。负序电流产生的磁场和转子绕组电流的磁场形成的转矩，是两倍频率交变、平均值接近于零的制动转矩，对发电机的机电暂态过程没有明显影响，可以忽略不计。如果发电机中流过零序电流，由于它在转子空间的合成磁场为零，它不产生转矩，也完全可以忽略。
    发电机的功角δ是E、U之间的夹角，与电压的直轴、交轴分量相关，要计算发电机的功角，只要能确定电压的这两个分量即可，而不必非求出E的大小。基于GPS的同步相量测量，可提供准确的电压、电流相量信息，据此信息结合发电机的功角模型可准确计算发电机的功角。为此，根据(5)的第一、二、五式，(6)的第二、五式，功角与角频率的关系可得
                                   
    将式(7)、(8)和(9)联立，即可构成基于定子电压、电流相量信息的发电机功角计算模型。U,I,φ为三个已知量，方程组中有六个未知量(Ψ_d,Ψ_q,Ψ_Q,i_Q,δ,ω)、四个微分方程和两个代数方程，可以求出未知量的解，即求出发电机的功角。
    此模型完全根据电机的电压、电流测量值及电机参数，不必考虑发电机的励磁变化和转子机械方程，也不受电网络参数的影响，因而具有很好的模型适应性。计算结果的准确性主要受测量电压、电流相量值和电机参数值精度的影响。
    在小干扰情况下，转速摆动不大， ω ≈1(标么值)，由式(7)、(8)即可确定功角。

3  模型的仿真计算
    为验证上述功角计算模型，以MATLAB对单机无穷大电网系统的暂态过程进行仿真。仿真模型中发电机通过一台变压器接入电网，发电机的参数为

刻故障切除。
    以仿真结果中的电压、电流数据，根据功角的稳态模型和上述模型分别进行计算，结果如图3和图4所示。由图可知，在暂态过程中，功角的暂态模型计算结果与仿真结果基本一致，可以满足工程要求；而功角的稳态模型计算结果与仿真结果相比有较大误差。

   对于暂态模型计算的功角结果，从图4可以看出，在三相短路故障时，功角计算结果与仿真结果有一定差别，而在故障切除后的过渡过程中差别很小。实际上，三相短路故障时功角计算结果与仿真结果的变化轨迹是一致的，但仿真结果存在周期性的波动，而计算结果则平稳变化。这是由于三相短路过程中绕组电压、电流出现非周期分量，相应地，功角存在周期分量；而本文方法计算功角时，只计及电压、电流的正序基波分量，忽略了其它分量，相应地，功角计算结果中只包含非周期分量。通常，功角监测用于系统的稳定，此时，可只考虑功角的非周期分量的变化情况，对周期分量可不作考虑，且随着暂态分量的衰减，计算结果和实际值趋于一致。
    采用本文方法计算时，计算步长的选择也会影响功角结果。由于发电机转子的机械惯性较大，功角变化缓慢，功角计算的步长取T/12和T(工频周期)时的结果差别非常细微，步长取5T时结果略有差别，当取10T时功角存在较大误差。功角误差较大是因为计算步长较大时，每一步的功角变化较大，微分方程的解与连续变化的真实值有误差，且步长大会使遗漏变化过程中的详细信息。应当注意，即使以T步长计算功角，仍需以较高的采样频率测量电压、电流，以期得到准确的电压、电流相量信息。
    功角计算时，发电机电压、电流的测量误差也会引起功角误差，但一般测量结果的精度较高，且通常计算功角时不是将电压、电流测量值直接代入，而是通过对电压、电流进行傅氏变换，求出正序基波分量，再用于功角计算，因而，测量结果中随机误差的影响可以得到较好的抑制。
4  结语
    本文提出的功角计算方法，利用发电机的数学模型和机端电压、电流相量信息，解决了暂态过程中的功角计算问题，避免了直接测量法中位置传感器带来的不便，可方便地用于基于GPS的同步相量测量系统中实时确定发电机的功角，实现功角及电网安全、稳定的动态监测。

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