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北极星电力网技术频道 作者:春波 2003/6/25 0:00:00
摘 要：介绍了时域有限差分法的基本原理，并利用Matlab仿真，对矩形波导谐振腔中的电磁场作了模拟和分析。
关键词：时域有限差分法；Matlab；矩形波导；谐振腔
目前，电磁场的时域计算方法越来越引人注目。时域有限差分（Finite Difference Time Domain，FDTD）法［1］作为一种主要的电磁场时域计算方法，最早是在1966年由K. S. Yee提出的。这种方法通过将Maxwell旋度方程转化为有限差分式而直接在时域求解，通过建立时间离散的递进序列，在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。经过三十多年的发展，这种方法已经广泛应用到各种电磁问题的分析之中。
Matlab作为一种工程仿真工具得到了广泛应用［2］。用于时域有限差分法，可以简化编程，使研究者的研究重心放在FDTD法本身上，而不必在编程上花费过多的时间。
下面将采用FDTD法，利用Matlab仿真来分析矩形波导谐振腔的电磁场，说明了将二者结合起来的优越性。
1FDTD法基本原理
时域有限差分法的主要思想是把Maxwell方程在空间、时间上离散化，用差分方程代替一阶偏微分方程，求解差分方程组，从而得出各网格单元的场值。FDTD空间网格单元上电场和磁场各分量的分布如图1所示。
电场和磁场被交叉放置，电场分量位于网格单元每条棱的中心，磁场分量位于网格单元每个面的中心，每个磁场（电场）分量都有4个电场（磁场）分量环绕。这样不仅保证了介质分界面上切向场分量的连续性条件得到自然满足，而且还允许旋度方程在空间上进行中心差分运算，同时也满足了法拉第电磁感应定律和安培环路积分定律，也可以很恰当地模拟电磁波的实际传播过程。
1.1Maxwell方程的差分形式
Maxwell旋度方程为：
将其标量化，并将问题空间沿3个轴向分成若干网格单元，用Δx，Δy和Δz分别表示每个网格单元沿3个轴向的长度，用Δt表示时间步长。网格单元顶点的坐标（x，y，z）可记为：
其中：i，j，k和n为整数。
同时利用二阶精度的中心有限差分式来表示函数对空间和时间的偏导数，即可得到如下FDTD基本差分式：
由于方程式里出现了半个网格和半个时间步，为了便于编程，将上面的差分式改写成如下形式：
其中：ε和μ分别为介质的介电常数和磁导率。
1.2数值色散及稳定性条件
为了减小数值色散，在选取空间网格尺寸时，应满足λmin≥10Δ，Δ=min(Δx,Δy,Δz)，λmin是被研究媒质空间的最小波长值。由此可以看出：减小网格尺寸可以减小数值色散，但是会引起计算存储量的增大，因此需综合考虑，权衡处理。
为了使数值计算稳定，时间步长的选择应满足：
2矩形波导谐振腔模型及仿真分析
矩形波导谐振腔是由两端短路的一段金属波导构成，如图2所示。本文选用的是WJB100型矩形波导，即宽度a=
(1)决定网格单元的尺寸和时间步长取Δx=Δy=Δz=Δ=
(2)设置激励源微分高斯脉冲的表达式为：
其优点是不含零频率分量，时域波形和频谱如图3所示。为了在谐振腔中激励起TE101模，并且抑制其他高次模，选择线源脉冲，使之在腔内xz平面中心处沿y轴方向分布，并选择合适的t0和τ值。经过反复试验，取t0=95.316ps，τ=285.948ps。
(3)设置边界条件对于矩形波导谐振腔，腔体的6个面都是金属，为方便起见，这里假设都是理想导体，即腔内导体边界上的所有切向电场分量为0，所有法向磁场分量为0。
矩形谐振腔的谐振波长为：
则TE101模的谐振波长为λ0=
图4是Matlab仿真计算出的矩形波导谐振腔的谐振频率，很明显，与理论值非常接近，由此可以确定确实激励起了TE101模，并且较好地抑制了高次模。
图5是程序运行N=3 000步时，腔体中央xz平面上的各分量瞬时分布图，可以看出，符合电磁场理论。
3结语
以上结合FDTD和Matlab对矩形波导谐振腔做了仿真分析，所编Matlab程序简洁明了，运行效率也较高。FDTD法在电磁场数值分析方面有很大的优越性，而Matlab具有强大的数据处理和图形处理功能，可以快速地编出高效高质量的程序。将二者的优势有效地结合起来，可以将算法迅速程序化，并获得很好的数据处理结果，使研究者可以集中精力在FDTD方法和研究对象本身上，而只需花费少量的时间在程序的实现上。
参考文献
［1］ 葛德彪，闫玉波．电磁波时域有限差分方法［M］．西安：西安电子科技大学出版社，2002
［2］马兴义，杨立群，等．Matlab 6 应用开发指南［M］．北京：机械工业出版社，2002
［3］廖承恩．微波技术基础［M］．北京：国防工业出版社，1984
（责任编辑：李香 2009-06-03）
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